Алгебраическая характеризация крайних точек выпуклых многогранников

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Крайние точки выпуклых многогранников могут быть характеризованы алгебраически следующим образом:

Пусть $P$ - выпуклый многогранник в $n$-мерном пространстве $\mathbb{R}^n$, ограниченный $m$ гиперплоскостями. Точка $x \in P$ называется крайней (или экстремальной) точкой многогранника $P$, если существует такое разбиение множества ${1,2,...,m}$ на два непересекающихся множества $I$ и $J = {1,2,...,m} \setminus I$, что
$$x = \sum_{i \in I} \lambda_i \textbf{a}i = \sum{j \in J} \mu_j \textbf{a}_j,$$
где $\textbf{a}_1, \textbf{a}_2,...,\textbf{a}_m$ - вершины многогранника $P$, а $\lambda_i, \muj \geq 0$ и $\sum{i \in I} \lambdai = \sum{j \in J} \mu_j = 1$.

Также крайние точки многогранника $P$ можно характеризовать при помощи алгебраического определения через множество $\mathbb{I} \subset {1,2,...,m}$ всех индексов, для которых точка $x$ является вершиной выпуклой комбинации. То есть точка $x$ является крайней точкой многогранника $P$ тогда и только тогда, когда множество $\mathbb{I}$, соответствующее этой точке, минимально (то есть в него нельзя добавить ни один индекс без нарушения условий выпуклости).

Эти алгебраические характеристики позволяют более удобно описывать и исследовать крайние точки выпуклых многогранников.