Найти: а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям; б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения частного решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющего начальным условиям, нужно использовать метод вариации постоянных. Пусть дано уравнение:

[ay'' + by' + cy = 0]

Предположим, что частное решение имеет вид (y_p = Ce^{rt}), где (C) и (r) - постоянные. Подставим это решение в уравнение и получим:

[a(r^2e^{rt}) + b(re^{rt}) + ce^{rt} = 0]

Таким образом, (ar^2 + br + c = 0). Решив это квадратное уравнение, найдем значения (r). Используя полученные значения (r), найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

б) Для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала найти общее решение соответствующего однородного уравнения (как в пункте а), затем найти частное решение неоднородного уравнения и сложить его с общим решением однородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид (y = y_h + y_p), где (y_h) - общее решение однородного уравнения, а (y_p) - частное решение неоднородного уравнения.