Сколькими способами можно поставить на книжную полку 15 книг так, чтобы три отдельные книги оказались рядом

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нужно сначала посчитать количество способов поставить 15 книг на полку, а затем вычесть количество способов, когда три конкретные книги стоят рядом.

Количество способов поставить 15 книг без каких-либо дополнительных условий можно найти как факториал числа 15:
15! = 1 2 3 ... 15.

Теперь найдем количество способов, когда три конкретные книги стоят рядом. Эти книги мы будем считать за один объект. Тогда у нас будет 13 "объектов" (12 книг без тех трех и этот "объект" из трех книг).
Таким образом, количество способов ставить 13 "объектов" на полку будет равно:
13! = 1 2 3 ... 13.

Остается вычесть из общего числа способов количество способов, когда три конкретные книги стоят рядом:
15! - 13!.

Итак, общее количество способов поставить 15 книг так, чтобы три отдельные книги оказались рядом, равно:
15! - 13! = 1 2 3 ... 13 14 15 - 1 2 3 ... 13 = 13! 14 15 - 13!
13! (14 15 - 1) = 13! (210 - 1) = 13! 209.

Таким образом, имеется 13! * 209 способов поставить 15 книг на полку так, чтобы три отдельные книги оказались рядом.