Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к основанию под углом 45°. Найдите полную поверхность данного конуса, если его высота равна радиусу меньшего основания.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть обозначены радиусы большего основания $R$, меньшего основания $r$ и высота конуса $h$. Дано, что радиус меньшего основания равен высоте, то есть $r = h$. Также дано, что образующая конуса равна 2 см и угол наклона к основанию равен 45°.

Так как образующая конуса - это гипотенуза правильного треугольника, а $\sin 45° = \frac{r}{l}$, где $l$ - образующая конуса, то из получим $r = l \sin 45° = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Площадь основания равна $\pi r^2 = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 = 2\pi$. Площадь боковой поверхности можно найти с помощью формулы $S = \pi Rl$.
Поскольку у нас правильный конус, то можно применить подобие прямоугольных треугольников: $\frac{R}{l} = \frac{r}{h}$.
Отсюда находим $R = \frac{r \cdot R}{h} = \frac{\sqrt{2} \cdot R}{\sqrt{2}} = R$.

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна $S = \pi Rl = \pi \cdot R \cdot 2 = 2\pi R$. Тогда полная площадь поверхности конуса равна:
$S = 2\pi + 2\pi R = 2\pi + 2\pi = 4\pi$. Ответ: полная поверхность данного конуса равна $4\pi$ кв. см.