Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию y=π/4 - x2 на интервале [0, π]. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию y=π/4 - x2 на интервале [0, π].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данная функция не является периодической на интервале [0, π], поэтому для нахождения ряда Фурье будем использовать косинус-ряд.

Для начала найдем коэффициенты ряда Фурье:

a0 = (2/π) ∫((π/4 - x^2) dx) от 0 до π
a0 = (2/π) [(π/4 x) - (x^3/3)] от 0 до π
a0 = (2/π) [(π^2/4) - (π^3/3)]
a0 = π/2 - 2π/3

an = (2/π) ∫((π/4 - x^2) cos(nx) dx) от 0 до π
an = (2/π) ∫((π/4 cos(nx) - x^2 cos(nx)) dx) от 0 до π
an = (2/π) [((π/4 (1/n) sin(nx)) - (x^2 (1/n) sin(nx)) + (2/n) ∫(x sin(nx) dx)] от 0 до π
an = (2/π) [0 - 0 + (2/n ((-1)^n - 1)/n)]
an = 0, при n - четное
an = -4/(n^3π), при n - нечетное

Таким образом, ряд Фурье для функции y=π/4 - x^2 на интервале [0, π] будет иметь вид:

π/2 - 2π/3 - 4cos(x)/π^3 - 4cos(3x)/(3^3π) - 4cos(5x)/(5^3π) - ...