Алгебра, задачи на прогрессии Пусть an арифметическая прогрессия. Найдите разность арифметической прогрессии, если a1a3=12, a2+a3=6.
Пусть bn возрастающая геометрическая прогрессия с положительными членами. Найдите её знаменатель, если b3+b2+b1=7,b3+b1=5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение для арифметической прогрессии an:
Используем формулы для арифметической прогрессии:
a1 = a
a2 = a + d
a3 = a + 2d

Из условия имеем:
a1 * a3 = 12
a(a + 2d) = 12
a^2 + 2ad - 12 = 0

a2 + a3 = 6
a + d + a + 2d = 6
2a + 3d = 6
2a + 3d - 6 = 0

Решим систему уравнений:
a^2 + 2ad - 12 = 0
2a + 3d - 6 = 0

Из второго уравнения найдем a: a = 3 - 3d
Подставляем в первое уравнение:
(3 - 3d)^2 + 2(3 - 3d)d - 12 = 0
9 - 18d + 9d^2 + 6d - 6d^2 - 12 = 0
3d^2 - 12d + 9 = 0
d^2 - 4d + 3 = 0
(d - 1)(d - 3) = 0

d = 1 или d = 3

Если d = 1: a = 3 - 31 = 0, не подходит, так как все члены положительные.
Если d = 3: a = 3 - 33 = -6
Таким образом, арифметическая прогрессия определена как: -6, -3, 0

Решение для геометрической прогрессии bn:
Используем формулы для геометрической прогрессии:
b1 = b
b2 = bq
b3 = bq^2

Из условия имеем:
b3 + b2 + b1 = 7
bq^2 + bq + b = 7
b(q^2 + q + 1) = 7
b*(q^2 + q + 1) = 7

b3 + b1 = 5
bq^2 + b = 5
b(q^2 + 1) = 5

Разделим первое уравнение на второе:
(b(q^2 + q + 1))/(b(q^2 + 1)) = 7/5
(q^2 + q + 1)/(q^2 + 1) = 7/5
5q^2 + 5q + 5 = 7q^2 + 7
2q^2 - 5q + 2 = 0
2q^2 - 4q - q + 2 = 0
2q(q - 2) - 1(q - 2) = 0
(q - 2)(2q - 1) = 0

q = 2 или q = 0.5

Если q = 2: b = 5/(2^2 + 1) = 5/5 = 1
Если q = 0.5: b = 5/(0.5^2 + 1) = 5/(0.25 + 1) = 5/1.25 = 4

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен либо 1 (при q = 2), либо 4 (при q = 0.5).