От прямоугольника со сторонами А и В отрезали квадрат максимальной возможной площади... От прямоугольника со сторонами А и В отрезали квадрат максимальной возможной площади. От оставшегося прямоугольника снова отрезали квадрат максимальной возможной площади. С оставшимся прямоугольником вновь повторили эту операцию. В результате получился прямоугольник размером 2 на 3. Определите максимальное возможное значение площади исходного прямоугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим стороны исходного прямоугольника как A и B (где A > B). После первого отрезания максимального квадрата площадь оставшегося прямоугольника будет равна (A-B)^2. После второго отрезания площадь прямоугольника будет равна (A-2B)^2, и так далее.

Дано, что после нескольких таких операций мы получили прямоугольник размером 2 на 3, то есть А-3В=2 и A>3B.

Мы можем выразить А через В из уравнения A-3B=2: A=3B+2.

Подставляем это выражение для А в уравнение площади прямоугольника после второго отрезания: (3B+2-2B)^2 = (B+2)^2.

Таким образом, максимальная площадь исходного прямоугольника будет равна площади прямоугольника (B+2) на (3B+2), то есть (B+2)*(3B+2).

Для нахождения максимального значения этого выражения мы можем взять производную и приравнять её к нулю:

d/dB [(B+2)*(3B+2)] = 0,
3B+2 + 3(B+2) = 0,
6B + 8 = 0,
B = -4/3.

Подставляем значение В в уравнение A=3B+2: A = 3*(-4/3) + 2 = -2.

Итак, исходный прямоугольник имеет стороны -2 и -4/3. Максимально возможная площадь такого прямоугольника равна 2*(-2) = -4. Однако нам нужна положительная площадь, поэтому ответ: максимальная площадь исходного прямоугольника равна 4.