Применение эквивалентности в пределах Дана функция ln(1+n) под корнем степени n, то есть (ln(1+n))^1/n - можно ли применить эквивалентность для логарифма. n->+oo

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться эквивалентностью при предельном переходе.

Исходная функция:

f(n) = (ln(1+n))^(1/n)

Для упрощения выражения воспользуемся эквивалентностью для логарифма:

ln(1+n) = n при n->+∞

Таким образом, исходная функция при n->+∞ примет вид:

f(n) = n^(1/n)

Чтобы найти предел данной функции, перепишем ее в виде:

f(n) = exp[(1/n)*ln(n)]

Теперь применим правило Лопиталя:

f'(n) = [1/(n^2)]*ln(n) - [1/(n^2)]

Таким образом предел исходной функции при n->+∞ равен:

lim(n->+∞) f(n) = lim(n->+∞) exp[(1/n)*ln(n)] = 1

Итак, при n->+∞ исходное выражение (ln(1+n))^(1/n) эквивалентно 1.