Математика, один пример, требуется помощь Доказать, что при всех неотрицательных %F0%9D%91%9D, %F0%9D%91%9E, %F0%9D%91%9F выполнено
неравенство (%F0%9D%91%9D + %F0%9D%91%9E)(%F0%9D%91%9E + %F0%9D%91%9F)(%F0%9D%91%9F + %F0%9D%91%9D) ≥ 8%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%F0%9D%91%9F.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства воспользуемся AM-GM неравенством:

Для любых положительных чисел a, b и c верно, что:
𝑎𝑏𝑐 ≥ 3√(𝑎𝑏𝑐),
то есть
(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≥ 8abc.

Применяя это к нашему неравенству с 𝑎 = 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛(9𝑎/4), 𝑏 = 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛(9𝑏/4), 𝑐 = 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛(9𝑐/4), получаем:

(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≥ 8∙𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛(9𝑎/4)∙𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛(9𝑏/4)∙𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛(9𝑐/4) = 8∙exp(1/3∙ln(9𝑎/4)∙ln(9𝑏/4)∙ln(9𝑐/4)) = 8∙exp(1/3∙ln((9𝑎/4)∙(9𝑏/4)∙(9𝑐/4))) = 8∙exp(1/3∙ln(729𝑎𝑏𝑐/64)) = 8∙exp(1/3∙(ln(729𝑎𝑏𝑐) - ln(64))) = 8∙exp((ln(𝑎𝑏𝑐) - ln(64)) / 3) = 8∙exp(ln(𝑎𝑏𝑐) / 3 - ln(64) / 3) = 8∙exp(ln(𝑎𝑏𝑐) / 3 - ln(4) / 3 - ln(4) / 3) = 8∙exp(ln(𝑎𝑏𝑐) / 3)∙exp(-ln(4) / 3)∙exp(-ln(4) / 3) = 8∙exp(ln(𝑎𝑏𝑐) / 3)∙(1 / 4)∙(1 / 4) = 8abc.

Таким образом, мы доказали требуемое неравенство.