Здравствуйте, решите задачку по высшей математике Разложить функцию в ряд по степеням x . Указать
интервал сходимости:
a) y=2^x
б) y=xcos(x/2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Функция y=2^x может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности точки x=0. Для этого найдем производные:

f(x) = 2^x
f'(x) = ln(2)2^x
f''(x) = (ln(2))^22^x
f'''(x) = (ln(2))^3*2^x

Общий вид производной n-го порядка:
f^(n)(x) = (ln(2))^n*2^x

Теперь можем найти ряд Тейлора:
2^x = f(0) + f'(0)x + f''(0)(x^2)/2! + f'''(0)*(x^3)/3! + ...

2^x = 1 + ln(2)x + (ln(2))^2x^2/2 + (ln(2))^3*x^3/6 + ...

Интервал сходимости данного ряда - (-∞, ∞).

б) Функция y=xcos(x/2) также может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности точки x=0. Для этого найдем производные:

f(x) = xcos(x/2)
f'(x) = cos(x/2) - (x/2)sin(x/2)
f''(x) = -sin(x/2) - (1/2)sin(x/2) - (x/2)cos(x/2)
f'''(x) = -cos(x/2) - (1/2)cos(x/2) + (x/4)sin(x/2) - (1/2)sin(x/2)
f''''(x) = sin(x/2) - (1/2)sin(x/2) + (x/4)cos(x/2) - (1/4)cos(x/2) - (1/2)sin(x/2)

Общий вид производной n-го порядка:
f^(n)(x) = sin(x/2)(-1)^(n/2) cos(x/2)(-1)^((n-1)/2) x^n/2 + ...

Теперь можем найти ряд Тейлора:
xcos(x/2) = f(0) + f'(0)x + f''(0)(x^2)/2! + f'''(0)*(x^3)/3! + ...

xcos(x/2) = 0 + 1x - 1x^2/2 + 1*x^3/6 + ...

Интервал сходимости данного ряда - (-∞, ∞).