Вычислить значение производной сложной функции u=u(x,y), где x=x(t), y=y(t), t=t0 при u=x^y ; x=e^t ; y = ln(t) ; t0 = 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления производной сложной функции в данном случае необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом).

Дано:
u = x^y
x = e^t
y = ln(t)
t0 = 1

Найдем производную функции u(x, y) = x^y по x:
du/dx = d/dx (x^y) = y x^(y-1) = ln(t) e^(ln(t) - 1)

Теперь найдем производные функций x и y по t:
dx/dt = d/dt (e^t) = e^t
dy/dt = d/dt (ln(t)) = 1/t

Найдем значение производной сложной функции u по t в точке t0 = 1:
du/dt = du/dx dx/dt + du/dy dy/dt
Подставим найденные значения:
du/dt = ln(t) e^(ln(t) - 1) e^t + ln(t) e^(ln(t) - 1) (1/t)
При t=1:
du/dt = ln(1) e^(ln(1) - 1) e^1 + ln(1) e^(ln(1) - 1) (1/1)
du/dt = 0 1 e + 0 1 1
du/dt = 0

Таким образом, значение производной сложной функции u в точке t0=1 равно 0.