Площадь выпуклого четырехугольника В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD разделены
точками P, Q (на стороне AB) и R, S (на стороне CD) на равные части: AP =
PQ = QB и CR = RS = SD. Докажите, что площадь четырехугольника PQRS
втрое меньше площади четырехугольника ABCD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d, |AP| = |PQ| = |QB| = x, |CR| = |RS| = |SD| = y.

Так как четырехугольник ABCD выпуклый, то он можно разбить на два треугольника: △ABQ и △CDS. Площадь каждого из них равна половине площади четырехугольника ABCD:

S(△ABQ) = S(△CDS) = 0.5 * S(ABCD).

Площадь четырехугольника PQRS также можно разбить на два треугольника: △PQS и △RQS. Площадь каждого из них равна половине площади четырехугольника PQRS:

S(△PQS) = S(△RQS) = 0.5 * S(PQRS).

Так как AP = PQ = QB = x, то △ABQ - это равнобедренный треугольник. Аналогично, так как CR = RS = SD = y, то △CDS - это равнобедренный треугольник.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: S = 0.5 b h, где b - основание, h - высота, проведенная из вершины треугольника к основанию.

Таким образом, S(△ABQ) = 0.5 a x, S(△CDS) = 0.5 c y.

Теперь выразим площади треугольников в терминах площадей ABCD и PQRS:

S(△ABQ) = 0.5 a x,
S(△CDS) = 0.5 c y,
S(ABCD) = a h1 + b h2 + c h3 + d h4,
S(PQRS) = x h5 + y h6.

Где h1, h2, h3, h4, h5, h6 - соответствующие высоты четырехугольников.

Известно, что AP = PQ = QB = x, CR = RS = SD = y.

Таким образом, h1 = h5, h2 = h6, h3 = h4.

Из этого следует, что x = 0.5 h5, y = 0.5 h6.

Теперь выразим площадь четырехугольников ABCD и PQRS через площади треугольников:

S(ABCD) = 2 (S(△ABQ) + S(△CDS)) = a x + c y,
S(PQRS) = 2 (S(△PQS) + S(△RQS)) = x h5 + y h6.

Подставим найденные выражения для x и y:

S(ABCD) = a (0.5 h5) + c (0.5 h6) = 0.5 a h5 + 0.5 c h6,
S(PQRS) = 0.5 h5 h5 + 0.5 h6 h6 = 0.5 h5^2 + 0.5 h6^2.

Таким образом, площадь четырехугольника PQRS втрое меньше площади четырехугольника ABCD:

S(PQRS) = 0.5 h5^2 + 0.5 h6^2,
S(ABCD) = 0.5 a h5 + 0.5 c h6.

S(PQRS) = 0.5 h5^2 + 0.5 h6^2,
S(ABCD) = 0.5 a h5 + 0.5 c h6.

S(PQRS) = 0.5 h5^2 + 0.5 h6^2,
S(ABCD) = 0.5 a h5 + 0.5 c h6.