В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВH известно, что окружность описанная около треуголтника ABH, пересекает сторонк BC в её середине — точке М. Докажите, что угол BHM равен половине угла BAC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол BAC как α, а угол BHM как β.

Так как точка М - середина стороны BC, то треугольник BHC прямоугольный, и BH - медиана. Также, угол BHM является внешним по отношению к треугольнику ABH и, следовательно, равен сумме смежных углов: β = ∠AHB + ∠HAB.

Так как треугольник ABH остроугольный, ∠AHB = 90°. Из этого следует, что β = 90° + ∠HAB.

Также, ∠HAB = ∠BAC (так как угол, опирающийся на дугу вписанной в окружность треугольника, равен углу, стоящему на этой дуге).

Таким образом, β = 90° + ∠BAC/2 = 1/2 * ∠BAC.

Итак, угол BHM равен половине угла BAC.