Сумма кубов пяти натуральных чисел Сумма кубов 5 последовательных натуральных чисел делится на шесть. докажите что она делится на 36

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сумма кубов пяти натуральных чисел равна S. Тогда можно представить ее в виде:

S = a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + (a+3)^3 + (a+4)^3

Раскроем скобки:

S = 5a^3 + 30a^2 + 70a + 60

Теперь посчитаем остаток от деления S на 6:

S ≡ 5a^3 + 2a (mod 6)

Для того, чтобы доказать, что S делится на 36, нужно показать, что S делится и на 6, и на 6^2 = 36.

Рассмотрим остатки кубов от деления на 6:
0^3 ≡ 0 (mod 6)
1^3 ≡ 1 (mod 6)
2^3 ≡ 2 (mod 6)
3^3 ≡ 3 (mod 6)
4^3 ≡ 4 (mod 6)
5^3 ≡ 5 (mod 6)

Из этого следует, что сумма кубов пяти натуральных чисел может иметь остатки 0, 1, 2, 3, 4 или 5 при делении на 6. Однако, остаток S равен 5a^3 + 2a, который не равен ни 0, ни 3, ни 4 при любом a. Таким образом, S не делится на 6.

Теперь рассмотрим возможные остатки от деления S на 36:
0^3 ≡ 0 (mod 36)
1^3 ≡ 1 (mod 36)
2^3 ≡ 8 (mod 36)
3^3 ≡ 27 (mod 36)
4^3 ≡ 64 ≡ 28 (mod 36)
5^3 ≡ 125 ≡ 17 (mod 36)

Таким образом, сумма кубов пяти натуральных чисел может иметь остатки 0, 1, 8, 10, 27, 28 или 35 при делении на 36. При этом oстаток S равен 5a^3 + 2a. Мы видим, что при a = 1, 2, 3, 4, 5 остаток этого выражения совпадает с одним из допустимых остатков, а значит, S делится на 36.

Таким образом, сумма кубов пяти последовательных натуральных чисел делится на 36.