Олимпиадная задача!!! Ответ нужен в течение 20 минут!!! После окончания богатырского турнира участники разъехались по восьми направлениям розы ветров:
причём в каждом направлении отбыл хотя бы один человек.
Во все северные направления отбыло не более 28% богатырей, во все восточные — не более 25%, во все южные — не более 25%, и не более 25% уехали строго на запад.
Всего богатырей было не более 70.
Сколько богатырей могло быть на турнире?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что количество богатырей на турнире равно n.

Так как в каждом из четырех направлений отбыло не более 25% богатырей, то в сумме в этих направлениях отбыло не более 100% богатырей. Это дает нам следующее неравенство:

0.28n + 0.25n + 0.25n + 0.25n <= n

Решая это неравенство, мы получаем:

1.03n <= n

n <= 70

Таким образом, количество богатырей на турнире не превышает 70.

Также у нас есть информация о том, что в каждом направлении отбыл хотя бы один богатырь. Это значит, что сумма всех уехавших богатырей не больше n-4 (так как в каждом из восьми направлений отбыл хотя бы один богатырь, а отбыло не более 4 богатырей).

Итак, нам нужно найти такое количество богатырей, которое удовлетворяет всем условиям задачи. Попробуем сначала найти максимальное количество богатырей, удовлетворяющее всем описанным условиям.

Рассмотрим случай, когда на турнире было 70 богатырей. В этом случае сумма всех уехавших богатырей не больше 66. Также известно, что в сумме во все направления отбыло не более 28% богатырей на север, не более 25% на восток, не более 25% на юг и не более 25% на запад, что дает нам:

0.2870 + 0.2570 + 0.2570 + 0.2570 = 19.6 + 17.5 + 17.5 + 17.5 = 72.1

Это означает, что при n=70 условия задачи нарушаются. Поэтому максимальное количество богатырей на турнире не может быть равно 70.

Рассмотрим случай, когда на турнире было 69 богатырей. Тогда сумма всех уехавших богатырей не более 65. Удовлетворим условиям задачи:

0.2869 + 0.2569 + 0.2569 + 0.2569 = 19.32 + 17.25 + 17.25 + 17.25 = 70.07

Это означает, что при n=69 все условия задачи соблюдаются. Следовательно, на турнире могло быть ровно 69 богатырей.