Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный. На стороне BC треугольника ABC выбрали точки D и E таким
образом, что AD = BD и AE = CE. Оказалось, что точка D лежит на
отрезке BE. Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что треугольник ABC не тупоугольный. Тогда он либо остроугольный, либо прямоугольный.

Пусть треугольник ABC остроугольный. Тогда все его углы меньше 90 градусов.

Так как AD = BD и AE = CE, то треугольники ADE и BCE равнобедренные.
При этом, так как точка D лежит на отрезке BE и BD = AD, то угол ADE больше угла BDE (по неравенству треугольника).
Но так как треугольник ABC остроугольный, то угол BDE больше угла B и, следовательно, угол ADE больше угла B.
Таким образом, угол ADE больше 90 градусов, что противоречит тому, что треугольник ABC остроугольный.

Пусть треугольник ABC прямоугольный. Тогда один из его углов равен 90 градусов.

Если угол A прямой, то угол ADE также прямой (из равнобедренности треугольников ADE и BCE) и равен 90 градусов.
Но это означает, что треугольник ABC также прямоугольный, что противоречит изначальному предположению.

Таким образом, треугольник ABC является тупоугольным.