Доказать теорему и следствия Доказать теорему о линии пересечения двух
плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой
плоскости, и ее следствия.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть даны две плоскости: P1 и P2. Плоскость P1 проходит через прямую l, которая параллельна плоскости P2. Пусть n1 и n2 - это векторы нормали к плоскостям P1 и P2 соответственно, а a - вектор, соединяющий точку пересечения прямой l и плоскости P1 с точкой пересечения прямой l и плоскости P2.

Так как прямая l параллельна плоскости P2, то вектор a лежит в плоскости P2. Поскольку векторы n1 и n2 ортогональны плоскостям P1 и P2, то их векторное произведение n1 x n2 также параллелен этим плоскостям. Таким образом, вектор a перпендикулярен вектору n1 x n2.

Поскольку вектор n1 x n2 является нормалью к линии пересечения плоскостей P1 и P2, то уравнение этой линии можно задать в виде векторного уравнения: r = r0 + t(n1 x n2), где r0 - это любая точка на линии, t - параметр.

Следствия:

Линия пересечения плоскостей P1 и P2 является перпендикуляром к обеим плоскостям.Угол между плоскостями P1 и P2 равен углу между прямой l и плоскостью P2.Если прямая l пересекает плоскость P2, то прямая l перпендикулярна линии пересечения плоскостей P1 и P2.Если прямая l параллельна плоскости P2 и точка пересечения прямой l и плоскости P1 лежит на прямой l, то линия пересечения плоскостей P1 и P2 совпадает с прямой l.

Таким образом, теорема о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и ее следствия доказаны.