Уравнение прямой на плоскости Даны уравнения двух сторон треугольника 4x- 5y+ 8=0 и x +4y+ 2=0 . Известно, что точка О (4;2) является точкой пересечения его медиан. Найти уравнение третьей стороны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты вершины треугольника, через которую проходит медиана.

Так как точка О (4;2) является точкой пересечения медиан, то вершина треугольника, через которую проходит медиана, равна середине отрезка, соединяющего точку О с точкой пересечения двух данных сторон треугольника.

Найдем точку пересечения прямых 4x - 5y + 8 = 0 и x + 4y + 2 = 0, решив систему уравнений:

4x - 5y + 8 = 0
x + 4y + 2 = 0

Преобразуем уравнения соответственно:
y = (4/5)x + 8/5
y = -(1/4)x - 1/2

Теперь приравняем выражения для y, чтобы найти x:

(4/5)x + 8/5 = -(1/4)x - 1/2
(4/5 + 1/4)x = -8/5 - 1/2
(16/20 + 5/20)x = -16/20 - 10/20
(21/20)x = -26/20
x = -26/20 * 20/21
x = -26/21

Теперь найдем y, подставив найденное x в одно из уравнений:

y = (4/5)(-26/21) + 8/5
y = -104/105 - 21/105
y = -125/105
y = -25/21

Таким образом, координаты точки пересечения прямых равны (-26/21; -25/21).

Теперь найдем координаты середины отрезка между точкой О (4;2) и найденной точкой пересечения. Для этого сложим координаты и поделим на 2 по каждой оси:

((4 + (-26/21))/2; (2 + (-25/21))/2)
((84/21 - 26/21)/2; (42/21 - 25/21)/2)
(58/21/2; 17/21/2)
(58/42; 17/42)
(29/21; 17/42)

Таким образом, координаты вершины треугольника, через которую проходит медиана, равны (29/21; 17/42).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку О (4;2) и найденную вершину треугольника (29/21; 17/42).

Найдем угловой коэффициент прямой:
k = (17/42 - 2) / (29/21 - 4)
k = (17/42 - 84/42) / (29/21 - 84/21)
k = (-67/42) / (-55/21)
k = 67 21 / 55 42
k = 141 / 110

Теперь используем найденный угловой коэффициент и точку О (4;2), чтобы найти уравнение прямой:
y - y₁ = k(x - x₁)
y - 2 = 141/110(x - 4)
y - 2 = 141x/110 - 564/110
y = 141x/110 - 562/110

Итак, уравнение третьей стороны треугольника равно:
y = 141x/110 - 562/110.