Известо, что средние линии четырёхугольника равны. Докажите, что его диагонали перпендикулярны. Известо, что средние линии четырёхугольника равны. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABCD - данный четырёхугольник, M и N - середины сторон AB и CD соответственно, P и Q - середины сторон BC и AD. Так как средние линии равны, то MN = PQ и MP || AD, NQ || BC.

Также из теоремы о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними получаем, что треугольники ADP и BCM равны. Аналогично, треугольники ABQ и CDN тоже равны.

Таким образом, углы APD и DBC равны, так как они соответственно равны углам BCM и ADP. Углы AQB и DCN также равны.

Поэтому AD || PQ и BC || MN. Рассмотрим треугольники ADP и CBQ. Поскольку их соответственные стороны параллельны и равны, то по теореме о равных треугольниках следует, что у них также равны углы между соответственными сторонами. Значит, AD перпендикулярно BC.

Аналогично доказывается, что BC перпендикулярно AD.

Таким образом, диагонали AD и BC четырёхугольника ABCD перпендикулярны.