Провести исследование функции y^3=(x-1)^2(x-2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данная функция представляет собой уравнение для кубической параболы, которая имеет точку перегиба в точке (1,0) и точки пересечения с осями координат в точках (1,0), (2,0) и (0,-2).

Чтобы провести исследование данной функции, необходимо найти ее производные первого и второго порядков.

Найдем производную функции y по x:
y^3 = (x-1)^2(x-2)
3y^2(dy/dx) = 2(x-1)(x-2) + (x-1)^2 + y^3(dy/dx)
dy/dx = [2(x-1)(x-2) + (x-1)^2]/(3y^2 - y^3)
dy/dx = [2x^2 - 6x + 4 + x^2 - 2x + 1] / [3y^2 - y^3]
dy/dx = (3x^2 - 8x + 5) / [3y^2 - y^3]

Найдем вторую производную функции у:
d^2y / dx^2 = [6x - 8] / [3y^2 - y^3] - [(3x^2 - 8x + 5) * 6y(dy/dx)] / [(3y^2 - y^3)^2]
d^2y / dx^2 = [6x - 8 - 6(3x^2 - 8x + 5)(3x^2 - 8x + 5)] / [3y^2 - y^3]^2

Найдем точки экстремума:
Поставим d^2y / dx^2 = 0 и решим уравнение для поиска экстремумов.

Найдем точки перегиба:
Найдем y'''' и приравняем его к 0, затем найдем соответствующие значения х для определения точек перегиба.

Построим график функции и укажем на нем найденные точки экстремума и перегиба.

Таким образом, проведя вышеуказанные шаги, можно детально исследовать функцию y^3=(x-1)^2(x-2) и определить ее характеристики.