Найти точки экстремума функции 3х переменных и определить их характер: u=ax^2+y^2+z^2+2y+2z, a не равно 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точек экстремума функции сначала найдем частные производные от функции по x, y, z и приравняем их к нулю:

∂u/∂x = 2ax = 0
∂u/∂y = 2y + 2 = 0
∂u/∂z = 2z + 2 = 0

Отсюда получаем систему уравнений:
1) ax = 0
2) y = -1
3) z = -1

Теперь найдем вторые производные функции:
∂^2u/∂x^2 = 2a
∂^2u/∂y^2 = 2
∂^2u/∂z^2 = 2

∂^2u/∂x∂y = 0
∂^2u/∂x∂z = 0
∂^2u/∂y∂z = 0

Так как a не равно 0, то у функции есть точка экстремума. Для определения ее характера рассмотрим гессиан функции:

H = |2a 0 0 |
|0 2 0 |
|0 0 2 |

Определитель гессиана равен: det(H) = 8a

Если det(H) > 0 и из 2 производных первого порядка по x, y, z хотя бы одна отлична от 0, то точка (0, -1, -1) - точка минимума функции.