Задача по теории вероятностей Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов имеет экспоненциальное распределение с параметром λ1=0,1 для первого элемента, λ2=0,2 для второго, λ3=0,3 для третьего. Найти вероятность того, что в интервале времени (0;10) часов откажут: а) хотя бы один элемент; б) не менее двух элементов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет в интервале времени (0;10) часов равна 1 минус вероятность того, что ни один элемент не откажет.
Пусть Ti - время безотказной работы i-го элемента. Тогда вероятность того, что i-й элемент не откажет в интервале времени (0;10) часов равна P(Ti > 10) = e^(-λi 10).
Тогда вероятность того, что ни один элемент не откажет в интервале времени (0;10) часов равна P(T1 > 10) P(T2 > 10) P(T3 > 10) = e^(-0.1 10) e^(-0.2 10) e^(-0.3 10) = e^(-1) e^(-2) e^(-3) = e^(-6).
И вероятность того, что хотя бы один элемент откажет равна 1 - e^(-6).

б) Вероятность того, что не менее двух элементов откажут в интервале времени (0;10) часов равна 1 минус вероятность того, что ни один элемент или только один элемент откажет.
Пусть Ai - событие, что i-й элемент откажет в интервале времени (0;10) часов. Тогда
P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1 ∩ A2) - P(A1 ∩ A3) - P(A2 ∩ A3) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = (1 - e^(-0.1 10)) + (1 - e^(-0.2 10)) + (1 - e^(-0.3 10)) - (1 - e^(-0.1 10) 1 - e^(-0.2 10)) - (1 - e^(-0.1 10) 1 - e^(-0.3 10)) - (1 - e^(-0.2 10) 1 - e^(-0.3 10)) + (1 - e^(-0.1 10) 1 - e^(-0.2 10) 1 - e^(-0.3 10)) = 1 - e^(-0.1 10) + 1 - e^(-0.2 10) + 1 - e^(-0.3 10) - (2 - e^(-0.1 10) - e^(-0.2 10)) - (2 - e^(-0.1 10) - e^(-0.3 10)) - (2 - e^(-0.2 10) - e^(-0.3 10)) + 2 - e^(-0.1 10) - e^(-0.2 10) - e^(-0.3 10) = 3 - (e^(-0.1 10) + e^(-0.2 10) + e^(-0.3 10)) + (e^(-0.1 10) + e^(-0.2 10) + e^(-0.3 10)) - (e^(-0.1 10) + e^(-0.2 10) + e^(-0.3 10)) + e^(-0.1 10) e^(-0.2 10) e^(-0.3 10) = 3 - e^(-0.1 10) - e^(-0.2 10) - e^(-0.3 10).