Задача по алгебре Найти минимальный многочлен матрицы
Матрица
3 -2 1
2 -2 2
3 -6 5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти минимальный многочлен матрицы, нужно найти ее собственные значения.

Сначала найдем собственные значения, решив уравнение det(A - λI) = 0, где A - исходная матрица, I - единичная матрица, λ - собственное значение:

det(A - λI) = det([3-λ -2 1; 2 -2-λ 2; 3 -6 5-λ]) = 0
= (3-λ)(-2-λ)(5-λ) + 6 + 4(5-λ) + 6(2+3λ) = 0
= -30 + 20λ - 5λ^2 + 6 + 20 - 4λ + 18 + 18λ = 0
= -11λ^2 + 38λ - 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два собственных значения: λ1 ≈ 0.514 и λ2 ≈ 6.280.

Следующим шагом нужно найти собственные векторы для каждого собственного значения, решив систему уравнений (A - λI)x = 0 для каждого значения λ.

После нахождения собственных векторов для λ1 и λ2, мы можем записать матрицу перехода S, в которой столбцами будут являться найденные собственные векторы.

С помощью матрицы S можно получить диагональную матрицу D, элементы которой по диагонали будут собственными значениями матрицы.

И, наконец, минимальный многочлен матрицы будет равен НОК многочленов, соответствующих каждому собственному значению.