По гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 12 см, 16 см, 20 см перемещается точка. По гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 12 см,
16 см, 20 см перемещается точка. Найдите, при каком положении
точки сумма квадратов расстояний от этой точки до катетов будет
наименьшей. Определите расстояние от этого положения точки до
вершины прямого угла.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим положение точки на гипотенузе как x см от одного из катетов.

Тогда расстояния от точки до катетов будут равны 12 - x и 16 - x.

Сумма квадратов расстояний от точки до катетов равна:
f(x) = (12 - x)^2 + (16 - x)^2 = 144 - 24x + x^2 + 256 - 32x + x^2 = 2x^2 - 56x + 400.

Для нахождения минимума этой функции, найдем производную и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 4x - 56 = 0,
4x = 56,
x = 14.

Итак, при x = 14 см сумма квадратов расстояний от точки до катетов будет наименьшей.

Расстояние от этого положения точки до вершины прямого угла равно:
sqrt(12^2 + 16^2) = sqrt(144 + 256) = sqrt(400) = 20 см.