Даны три квадратных уравнения: P(x)=0, Q(x)=0 и R(x)=0, старшие коэффициенты которых положительны. Известно, что у любых двух из этих
уравнений есть ровно один общий действительный корень, причем все три
общих корня – различны. Сколько действительных корней имеет уравнение
S(x)=0, где
S(x)=P(x)+Q(x)+R(x)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

У нас есть три квадратных уравнения с положительными старшими коэффициентами, и каждые два из них имеют один общий корень. Таким образом, сумма коэффициентов при соответствующих степенях переменной в этих уравнениях также равна нулю. Поскольку у нас три уравнения, все суммы коэффициентов при соответствующих степенях переменных должны быть равны нулю.

Пусть $a, b, c$ - старшие коэффициенты уравнений $P(x), Q(x), R(x)$ соответственно. Тогда уравнение $S(x) = P(x) + Q(x) + R(x)$ имеет старший коэффициент $a + b + c$, который также должен равняться нулю.

Таким образом, уравнение $S(x) = 0$ имеет только один действительный корень, так как его старший коэффициент равен нулю.