Задание по математике Дана пирамида A(1;3;1) B(-1;4;6) C(-2;-3;4) D(3;4;-4). Вычислить: а) площадь грани ACD; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра BC и вершины A и D; в) объем пирамиды ABCD; г) сделать чертеж

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Площадь грани ACD:

Для этого найдем векторы AC(ACx, ACy, ACz) и AD(ADx, ADy, ADz), затем найдем их векторное произведение и вычислим его модуль, который равен площади параллелограмма, образованного векторами AC и AD. Далее поделим полученное значение на 2, так как мы рассматриваем только половину парагоня.

AC = C - A = (-2 - 1; -3 - 3; 4 - 1) = (-3; -6; 3)
AD = D - A = (3 - 1; 4 - 3; -4 - 1) = (2; 1; -5)
AC x AD = |i j k|
|-3 -6 3|
| 2 1 -5| = -9i - 9j + 3k + 12i + 2j + 15k = 3i - 7j + 18k

|AC x AD| = √(3² + (-7)² + 18²) = √(9 + 49 + 324) = √382

Площадь грани ACD = |AC x AD| / 2 = √382 / 2 = √382 / 2

б) Площадь сечения, проходящего через середину ребра BC и вершины A и D:

Сначала найдем середину ребра BC:

BC = (B + C) / 2 = ((-1 - 2) / 2; (4 - 3) / 2; (6 + 4) / 2) = (-3/2, 1/2, 5)

Затем найдем векторы AB(ABx, ABy, ABz) и BC(BCx, BCy, BCz):

AB = B - A = (-1 - 1; 4 - 3; 6 - 1) = (-2; 1; 5)
BC = C - B = (-2 - (-1); -3 - 4; 4 - 6) = (-1; -7; -2)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и BC:

AB x BC = |i j k|
|-2 1 5|
|-1 -7 -2| = - 47i - 11j - 13k

|AB x BC| = √((-47)² + (-11)² + (-13)²) = √(2209 + 121 + 169) = √2499

Площадь сечения = |AB x BC|/2 = √2499 / 2

в) Объем пирамиды ABCD:

Для вычисления объема пирамиды ABCD воспользуемся формулой:

V = 1/3 S h,

где S - площадь грани ACD, найденная в пункте а), h - высота, которая может быть найдена, как расстояние от вершины B до плоскости ACD.

h = |(D - B) * (AC x AD)| / |AC x AD|

D - B = (3 - (-1); 4 - 4; -4 - 6) = (4; 0; -10)

h = |(4; 0; -10) * (3; -7; 18)| / √382 = |-142| / √382 = 142 / √382

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = 1/3 S h = 1/3 √382 / 2 142 / √382 = 1/3 * 142 / 2 = 142 / 6

г) Чертеж смотри на рисунке.