Аналитическая геометрия в пространстве Задание: Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4
Средствами векторной алгебры найти
1. Длину ребра А2 А3
2. Угол между ребрами А1 А2 и А1 А4
3. Площадь грани А1 А2 А3
4. Объем пирамиды А1 А2 А3 А4
5. Написать уравнения прямой А1 А
6. Написать уравнение плоскости А1 А2 А3
Исходные данные
Координаты 4-х точек в пространстве : A(-1; 0; 3) B( 1; 2; 4) C(-1; 5; -1) D( 3; 2; 0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Длина ребра A2A3
Для нахождения длины ребра A2A3 мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины вектора
Вектор A2A3 = A3 - A2 = (-1 - 1; 5 - 2; -1 - 4) = (-2; 3; -5
Длина вектора A2A3: |A2A3| = √((-2)^2 + 3^2 + (-5)^2) = √(4 + 9 + 25) = √38

Таким образом, длина ребра A2A3 равна √38.

Угол между ребрами A1A2 и A1A4
Угол между векторами можно найти по формуле скалярного произведения векторов
cos(θ) = (A1A2 A1A4) / (|A1A2| |A1A4|
где A1A2 и A1A4 - векторы направленные от точки A1 к точкам A2 и A4 соответственно.

A1A2 = A2 - A1 = (1 - (-1); 2 - 0; 4 - 3) = (2; 2; 1
A1A4 = A4 - A1 = (3 - (-1); 2 - 0; 0 - 3) = (4; 2; -3)

Вычислим скалярное произведение векторов A1A2 и A1A4
A1A2 A1A4 = 24 + 22 + 1(-3) = 8 + 4 - 3 =
|A1A2| = √(2^2 + 2^2 + 1^2) = √9 =
|A1A4| = √(4^2 + 2^2 + (-3)^2) = √29

cos(θ) = 9 / (3 √29
θ = arccos(9 / (3 √29))

Таким образом, угол между ребрами A1A2 и A1A4 равен arccos(9 / (3 * √29)).

Площадь грани A1A2A3
Для нахождения площади грани A1A2A3 мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника по координатам его вершин
Площадь треугольника можно найти как половину векторного произведения двух его сторон.

Вектор A1A2 = A2 - A1 = (1 - (-1); 2 - 0; 4 - 3) = (2; 2; 1
Вектор A1A3 = A3 - A1 = (-1 - (-1); 5 - 0; -1 - 3) = (0; 5; -4)

Площадь грани A1A2A3: S = 1/2 |A1A2 x A1A3
|A1A2 x A1A3| = |(2, 2, 1) x (0, 5, -4)| = |(2(-4) - 15); (10 - 2(-4)); (25 - 20)| = |(-8 - 5); (0 + 8); (10)| = |(-13); (8); (10)
S = 1/2 √((-13)^2 + 8^2 + 10^2) = 1/2 √(169 + 64 + 100) = 1/2 √333

Таким образом, площадь грани A1A2A3 равна 1/2 * √333.

Объем пирамиды A1A2A3A4
Для нахождения объема пирамиды мы можем воспользоваться формулой для нахождения объема пирамиды по площади основания и высоте
Основание пирамиды - треугольник A1A2A3, а высотой будет проекция вершины A4 на плоскость, содержащую этот треугольник.

Найдем координаты проекции вершины A4 на плоскость, содержащую треугольник A1A2A3
Сначала найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A1, A2 и A3
Вектор нормали к этой плоскости можно найти как векторное произведение векторов A1A2 и A1A3
Вектор n = A1A2 x A1A3 = |(2, 2, 1) x (0, 5, -4)| = |(2(-4) - 15); (10 - 2(-4)); (25 - 20)| = |(-13); (8); (10)|

Уравнение плоскости
-13(x - x1) + 8(y - y1) + 10(z - z1) =
-13(x + 1) + 8(y) + 10(z - 3) =
-13x - 13 + 8y + 10z - 30 =
-13x + 8y + 10z - 43 = 0

Теперь найдем проекцию точки A4 на эту плоскость. Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через A4 параллельно нормали к плоскости
Это уравнение прямой будет иметь вид
x = x4 + (-13)
y = y4 + 8
z = z4 + 10t

Подставим координаты точки A4 (3, 2, 0) и найдем параметр t
3 = 3 + (-13)
2 = 2 + 8
0 = 0 + 10t

Отсюда t = 0.

Проекция точки A4 на плоскость равна самой точке A4, так как она уже лежит в этой плоскости.

Высоту пирамиды можно найти как расстояние от точки A4 до плоскости, которое равно
h = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2), где Ax + By + Cz + D = 0 - уравнение плоскости

Зная координаты точки A4 и уравнение плоскости, подставляем
h = |(-133 + 82 + 10*0 - 43)| / √((-13)^2 + 8^2 + 10^2) = |(-39 + 16 - 43)| / √(169 + 64 + 100) = |(-66)| / √333 = 66 / √333

Таким образом, объем пирамиды A1A2A3A4 равен 1/3 S h = 1/3 1/2 √333 * 66 / √333 = 11.

Уравнение прямой A1A2
Прямая проходит через точки A1 и A2, координаты которых даны: A1(-1, 0, 3), A2(1, 2, 4)
Уравнение прямой можно записать в параметрической форме
x = x1 + (x2 - x1)
y = y1 + (y2 - y1)
z = z1 + (z2 - z1)t

Подставляя координаты точек и решая систему уравнений, получим
x = -1 + 2
y = 2
z = 3 + t

Таким образом, уравнение прямой A1A2 можно записать как
x = -1 + 2
y = 2
z = 3 + t

Уравнение плоскости A1A2A3
Плоскость проходит через точки A1, A2 и A3, координаты которых даны: A1(-1, 0, 3), A2(1, 2, 4), A3(-1, 5, -1)
Уравнение плоскости можно записать в виде
Ax + By + Cz + D = 0

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A1, A2 и A3
Для этого найдем векторы направляющие плоскости
A1A2 = A2 - A1 = (1 - (-1); 2 - 0; 4 - 3) = (2; 2; 1
A1A3 = A3 - A1 = (-1 - (-1); 5 - 0; -1 - 3) = (0; 5; -4)

После чего находим вектор, нормаль к плоскости
n = A1A2 x A1A3 = |(2, 2, 1) x (0, 5, -4)| = |(2(-4) - 15); (10 - 2(-4)); (25 - 20)| = |(-13); (8); (10)|

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A1, A2 и A3 можно записать как
-13x + 8y + 10z + D = 0

Подставим координаты точки A1
-13(-1) + 80 + 10*3 + D =
13 + 30 + D =
D = -43

Уравнение плоскости
-13x + 8y + 10z - 43 = 0

Таким образом, уравнение плоскости A1A2A3 можно записать как -13x + 8y + 10z - 43 = 0.