Аналитическая геометрия в пространстве Задание: Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4.
Средствами векторной алгебры найти:
1. Длину ребра А2 А3;
2. Угол между ребрами А1 А2 и А1 А4.
3. Площадь грани А1 А2 А3;
4. Объем пирамиды А1 А2 А3 А4;
5. Написать уравнения прямой А1 А2
6. Написать уравнение плоскости А1 А2 А3.
Исходные данные:
Координаты 4-х точек в пространстве : A(-1; 0; 3) B( 1; 2; 4) C(-1; 5; -1) D( 3; 2; 0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Длина ребра A2A3:
Для нахождения длины ребра A2A3 мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины вектора.
Вектор A2A3 = A3 - A2 = (-1 - 1; 5 - 2; -1 - 4) = (-2; 3; -5)
Длина вектора A2A3: |A2A3| = √((-2)^2 + 3^2 + (-5)^2) = √(4 + 9 + 25) = √38

Таким образом, длина ребра A2A3 равна √38.

Угол между ребрами A1A2 и A1A4:
Угол между векторами можно найти по формуле скалярного произведения векторов:
cos(θ) = (A1A2 A1A4) / (|A1A2| |A1A4|)
где A1A2 и A1A4 - векторы направленные от точки A1 к точкам A2 и A4 соответственно.

A1A2 = A2 - A1 = (1 - (-1); 2 - 0; 4 - 3) = (2; 2; 1)
A1A4 = A4 - A1 = (3 - (-1); 2 - 0; 0 - 3) = (4; 2; -3)

Вычислим скалярное произведение векторов A1A2 и A1A4:
A1A2 A1A4 = 24 + 22 + 1(-3) = 8 + 4 - 3 = 9
|A1A2| = √(2^2 + 2^2 + 1^2) = √9 = 3
|A1A4| = √(4^2 + 2^2 + (-3)^2) = √29

cos(θ) = 9 / (3 √29)
θ = arccos(9 / (3 √29))

Таким образом, угол между ребрами A1A2 и A1A4 равен arccos(9 / (3 * √29)).

Площадь грани A1A2A3:
Для нахождения площади грани A1A2A3 мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника по координатам его вершин.
Площадь треугольника можно найти как половину векторного произведения двух его сторон.

Вектор A1A2 = A2 - A1 = (1 - (-1); 2 - 0; 4 - 3) = (2; 2; 1)
Вектор A1A3 = A3 - A1 = (-1 - (-1); 5 - 0; -1 - 3) = (0; 5; -4)

Площадь грани A1A2A3: S = 1/2 |A1A2 x A1A3|
|A1A2 x A1A3| = |(2, 2, 1) x (0, 5, -4)| = |(2(-4) - 15); (10 - 2(-4)); (25 - 20)| = |(-8 - 5); (0 + 8); (10)| = |(-13); (8); (10)|
S = 1/2 √((-13)^2 + 8^2 + 10^2) = 1/2 √(169 + 64 + 100) = 1/2 √333

Таким образом, площадь грани A1A2A3 равна 1/2 * √333.

Объем пирамиды A1A2A3A4:
Для нахождения объема пирамиды мы можем воспользоваться формулой для нахождения объема пирамиды по площади основания и высоте.
Основание пирамиды - треугольник A1A2A3, а высотой будет проекция вершины A4 на плоскость, содержащую этот треугольник.

Найдем координаты проекции вершины A4 на плоскость, содержащую треугольник A1A2A3.
Сначала найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A1, A2 и A3.
Вектор нормали к этой плоскости можно найти как векторное произведение векторов A1A2 и A1A3.
Вектор n = A1A2 x A1A3 = |(2, 2, 1) x (0, 5, -4)| = |(2(-4) - 15); (10 - 2(-4)); (25 - 20)| = |(-13); (8); (10)|

Уравнение плоскости:
-13(x - x1) + 8(y - y1) + 10(z - z1) = 0
-13(x + 1) + 8(y) + 10(z - 3) = 0
-13x - 13 + 8y + 10z - 30 = 0
-13x + 8y + 10z - 43 = 0

Теперь найдем проекцию точки A4 на эту плоскость. Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через A4 параллельно нормали к плоскости.
Это уравнение прямой будет иметь вид:
x = x4 + (-13)t
y = y4 + 8t
z = z4 + 10t

Подставим координаты точки A4 (3, 2, 0) и найдем параметр t:
3 = 3 + (-13)t
2 = 2 + 8t
0 = 0 + 10t

Отсюда t = 0.

Проекция точки A4 на плоскость равна самой точке A4, так как она уже лежит в этой плоскости.

Высоту пирамиды можно найти как расстояние от точки A4 до плоскости, которое равно:
h = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2), где Ax + By + Cz + D = 0 - уравнение плоскости

Зная координаты точки A4 и уравнение плоскости, подставляем:
h = |(-133 + 82 + 10*0 - 43)| / √((-13)^2 + 8^2 + 10^2) = |(-39 + 16 - 43)| / √(169 + 64 + 100) = |(-66)| / √333 = 66 / √333

Таким образом, объем пирамиды A1A2A3A4 равен 1/3 S h = 1/3 1/2 √333 * 66 / √333 = 11.

Уравнение прямой A1A2:
Прямая проходит через точки A1 и A2, координаты которых даны: A1(-1, 0, 3), A2(1, 2, 4).
Уравнение прямой можно записать в параметрической форме:
x = x1 + (x2 - x1)t
y = y1 + (y2 - y1)t
z = z1 + (z2 - z1)t

Подставляя координаты точек и решая систему уравнений, получим:
x = -1 + 2t
y = 2t
z = 3 + t

Таким образом, уравнение прямой A1A2 можно записать как:
x = -1 + 2t
y = 2t
z = 3 + t

Уравнение плоскости A1A2A3:
Плоскость проходит через точки A1, A2 и A3, координаты которых даны: A1(-1, 0, 3), A2(1, 2, 4), A3(-1, 5, -1).
Уравнение плоскости можно записать в виде:
Ax + By + Cz + D = 0

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A1, A2 и A3.
Для этого найдем векторы направляющие плоскости:
A1A2 = A2 - A1 = (1 - (-1); 2 - 0; 4 - 3) = (2; 2; 1)
A1A3 = A3 - A1 = (-1 - (-1); 5 - 0; -1 - 3) = (0; 5; -4)

После чего находим вектор, нормаль к плоскости:
n = A1A2 x A1A3 = |(2, 2, 1) x (0, 5, -4)| = |(2(-4) - 15); (10 - 2(-4)); (25 - 20)| = |(-13); (8); (10)|

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A1, A2 и A3 можно записать как:
-13x + 8y + 10z + D = 0

Подставим координаты точки A1:
-13(-1) + 80 + 10*3 + D = 0
13 + 30 + D = 0
D = -43

Уравнение плоскости:
-13x + 8y + 10z - 43 = 0

Таким образом, уравнение плоскости A1A2A3 можно записать как -13x + 8y + 10z - 43 = 0.