Решите уравнение 1+log(2)(x+1)=log(2)(7x+2)-log(2)(x-1) По возможности с объяснением, заранее спасибо

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала приведем уравнение к более удобному виду, используя свойства логарифмов:

1 + log₂(x + 1) = log₂(7x + 2) - log₂(x - 1)

1 + log₂(x + 1) = log₂((7x + 2)/(x - 1))

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

1 + log₂(x + 1) = log₂((7x + 2)/(x - 1))
1 + log₂(x + 1) = log₂(7 + 9/(x - 1))

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

1 + log₂(x + 1) = log₂(2(x + 1))

Таким образом, уравнение примет вид:

log₂(2(x + 1)) = log₂(7 + 9/(x - 1))

Теперь выразим x из уравнения:

2(x + 1) = 7 + 9/(x - 1)

2x + 2 = 7 + 9/(x - 1)

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

2x + 2 - 7 = 9/(x - 1)

2x - 5 = 9/(x - 1)

Умножим обе части уравнения на (x - 1), чтобы избавиться от дроби:

(x - 1)(2x - 5) = 9
2x² - 5x - 2x + 5 = 9
2x² - 7x + 5 = 9
2x² - 7x - 4 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

D = (-7)² - 4 2 (-4) = 49 + 32 = 81

x = (-(-7) ± √81) / (2 * 2)
x = (7 ± 9) / 4

Два корня:

x₁ = (7 + 9) / 4 = 4
x₂ = (7 - 9) / 4 = -0.5

Проверим подстановкой оба корня в исходное уравнение:

При x = 4:

1 + log₂(4 + 1) = log₂(7 * 4 + 2) - log₂(4 - 1)
1 + log₂(5) = log₂(30) - log₂(3)
1 + log₂(5) = log₂(30/3)
1 + log₂(5) = log₂(10)
1 + log₂(5) = log₂(10)

При x = -0.5:

1 + log₂(-0.5 + 1) = log₂(7 *(-0.5)+2) - log₂(-0.5-1)
1 + log₂(0.5) = log₂(-3.5) - log₂(-1.5)
1 + log₂(0.5) = log₂(-3.5/-1.5)
1 + log₂(0.5) = log₂(2.3333...)

Таким образом, корень x = 4 подходит для уравнения, а корень x = -0.5 не подходит, так как логарифм отрицательного числа не существует.