Докажите тождество 1)сos^2b - sin^2b / 1+ cos b*sin b = cos b-sin b 2) cos b / 1+sin b - cos b / 1- sin b = - 2 tg b Докажите тождество
1)сos^2b - sin^2b / 1+ cos b*sin b = cos b-sin b
2) cos b / 1+sin b - cos b / 1- sin b = - 2 tg b
3)(1+tg b)^2+(1- tg b)^2 = 2 / cos^2 b
4)1 - 4 cos^2 b* sin^2 b / (cos b+ sin b)^2+ 2 cos b * sin b = 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

1) Исходное тождество: (cos^2b - sin^2b) / (1 + cos b*sin b) = cos b - sin b

Докажем это тождество. Перепишем левую часть:

(cos^2b - sin^2b) / (1 + cos bsin b) = ((cos b - sin b)(cos b + sin b)) / (1 + cos bsin b)
= (cos b - sin b) (cos b + sin b) / (1 + cos bsin b)
= cos b - sin b

Таким образом, левая часть равна cos b - sin b, что и требовалось доказать.

2) Исходное тождество: cos b / (1 + sin b) - cos b / (1 - sin b) = -2tg b

Докажем это тождество. Разделим числитель и знаменатель на cos b:

cos b / (1 + sin b) - cos b / (1 - sin b) = (cos b / cos b 1) / (cos b / cos b (1 + sin b)) - (cos b / cos b 1) / (cos b / cos b (1 - sin b))
= 1 / (1 + sin b) - 1 / (1 - sin b)
= (1 - 1 - sin b) / (1 - sin^2b)
= -2sin b / cos^2b
= -2tg b

Таким образом, доказано исходное тождество.

3) Исходное тождество: (1 + tg b)^2 + (1 - tg b)^2 = 2 / cos^2b

Докажем это тождество. Раскроем скобки:

(1 + tg b)^2 + (1 - tg b)^2 = 1 + 2tg b + tg^2b + 1 - 2tg b + tg^2b
= 2 + 2tg^2b
= 2(1 + tg^2b)
= 2 / cos^2b

Таким образом, доказано исходное тождество.

4) Исходное тождество: 1 - 4cos^2b sin^2b / (cos b + sin b)^2 + 2cos b sin b = 1

Докажем это тождество. Раскроем скобки:

1 - 4cos^2b sin^2b / (cos b + sin b)^2 + 2cos b sin b
= (cos b + sin b)^2 / (cos b + sin b)^2 - 4cos^2b sin^2b / (cos b + sin b)^2 + 2cos b sin b
= ((cos b + sin b)^2 - 4cos^2b sin^2b + 2cos b sin b (cos b + sin b)) / (cos b + sin b)^2
= (cos^2b + 2cosbsinb + sin^2b - 4cos^2bsin^2b + 2cosbsinb) / (cos b + sin b)^2
= (1 - 2cos^2b*sin^2b) / (cos b + sin b)^2
= 1

Таким образом, доказано исходное тождество.