Найдите значение производной функции в точке x0 F(x) = x - 2cosx + 3tgx, x0= п/4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения значения производной функции в точке ( x_0 = \frac{\pi}{4} ) нужно вычислить производную функции ( F(x) = x - 2\cos x + 3\tan x ) и подставить ( x_0 = \frac{\pi}{4} ).

[ F'(x) = 1 + 2\sin x + 3\sec^2 x ]

Теперь подставляем ( x_0 = \frac{\pi}{4} ) для нахождения значения производной функции в этой точке:

[ F'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3\sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) ]
[ = 1 + 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + 3\cdot\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)} ]
[ = 1 + \sqrt{2} + 3\cdot\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} ]
[ = 1 + \sqrt{2} + 2\cdot\frac{1}{2} ]
[ = 1 + \sqrt{2} + 1 ]
[ = \sqrt{2} + 2 ]

Таким образом, значение производной функции в точке ( x_0 = \frac{\pi}{4} ) равно ( \sqrt{2} + 2 ).