Трапеция `ABCD` с основаниями `AD=8` и `BC=6` вписана в окружность. Диагонали `AC` и `BD` перпендикулярны друг другу. Найти радиус окружности, боковые стороны, высоту трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус окружности равен R, а высота трапеции равна h.

Так как диагонали AC и BD перпендикулярны, то они являются диагоналями прямоугольника ABCD. Тогда AC и BD равны 8 и 6 соответственно.

В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD делят друг друга пополам. Поэтому AO = DO = 4 и BO = CO = 3.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. В нем соединим точку O с серединой стороны AD, обозначим ее M. Треугольник AOM является прямоугольным, так как AO и OM - радиус окружности данного треугольника. Поэтому применим теорему Пифагора:

AM^2 + OM^2 = AO^2,
AM^2 + R^2 = R^2,
AM^2 = R^2 - 4^2,
AM^2 = R^2 - 16.

Так как AM является половиной основания трапеции, то AM = 4. Подставим в уравнение:

4^2 = R^2 - 16,
16 = R^2 - 16,
R^2 = 32,
R = √32,
R = 4√2.

Таким образом, радиус окружности равен 4√2.

Боковые стороны трапеции равны 8 и 6, а высота равна расстоянию между двумя параллельными основаниями, то есть h = 4.

Итак, радиус окружности равен 4√2, боковые стороны трапеции равны 8 и 6, а высота трапеции равна 4.