Решить уравнение (1-cos 6x)cos 2x=sin^2 3x; б) найти все корни уравнения, принадлежащие [3π;7π/2]. а) Решить уравнение (1-cos 6x)cos 2x=sin^2 3x;
б) найти все корни уравнения, принадлежащие числовому промежутку [3π;7π/2].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Решение уравнения
(1-cos 6x)cos 2x=sin^2 3x

Раскроем косинусы и синус
(1 - cos 6x)cos 2x = (1 - cos^2 3x) = sin^2 3x

Преобразуем уравнение
cos 2x - cos 6x cos 2x = sin^2 3
cos 2x (1 - cos 6x) = sin^2 3x

Так как cos 2x = 1 - 2sin^2 x, заменим cos 2x в уравнении
(1-2sin^2 x)(1-cos 6x) = sin^2 3x

Упростим уравнение
1 - cos 6x - 2sin^2 x + 2sin^2 x cos 6x = sin^2 3
1 - cos 6x - sin^2 x(1 - 2cos 6x) = sin^2 3x

Подставим cos 6x = 1 - 2sin^2 3x
1 - (1 - 2sin^2 3x) - sin^2 x(1 - 2(1 - 2sin^2 3x)) = sin^2 3
2sin^2 3x - sin^2 x + 2sin^2 x - 2sin^2 3x sin^2 x = sin^2 3
2sin^2 x - sin^2 x - 2sin^2 x sin^2 x =
sin^2 x(2 - 1 - 2sin^2 x) =
sin^2 x(1 - 2sin^2 x) = 0

Из уравнения получаем два решения
1) sin^2 x = 0 => sin x = 0 => x = kπ, где k - целое числ
2) 1 - 2sin^2 x = 0 => sin^2 x = 1/2 => sin x = ± 1/√2 => x = π/4 + 2πk, 3π/4 + 2πk, где k - целое число

б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие числовому промежутку [3π;7π/2]
Подставим пределы интервала в уравнение
3π ≤ x ≤ 7π/2

Для первого корня sin^2 x = 0
x = 3π

Для второго корня sin x = 1/√2
x = 7π/4.

Итак, все корни уравнения на интервале [3π;7π/2] равны x = 3π, x = 7π/4.