Дискретная математика. Монотонные и двойственные функции Как доказать, что если функция монотонна то двойственная тоже монотонна

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения необходимо использовать определение монотонной функции и двойственной функции.

Пусть у нас есть две функции f: A -> B и g: B -> A, где A и B - множества.

Функция f называется монотонной, если для любых элементов x, y из множества A, таких что x <= y, выполняется f(x) <= f(y).

Функция g называется двойственной к функции f, если для любых элементов x из множества A и y из множества B, таких что f(x) <= y, выполняется x <= g(y).

Теперь докажем, что если функция f монотонна, то функция g, двойственная к ней, также монотонна.

Пусть x1 <= x2, где x1 и x2 из множества A. Из монотонности функции f следует, что f(x1) <= f(x2).

Так как функция g двойственная к функции f, то должно выполняться x1 <= g(f(x1)) и x2 <= g(f(x2)).

Поскольку f(x1) <= f(x2), то следует, что g(f(x1)) <= g(f(x2)).

Отсюда получаем, что g(f(x1)) <= g(f(x2)) и, следовательно, функция g также монотонна.

Таким образом, было доказано, что если функция f монотонна, то её двойственная функция g также будет монотонной.