X/cos^2(x^2) найти интеграл

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Интеграл функции X/cos^2(x^2) можно найти с помощью метода замены переменной.

Для начала проведем замену переменной:
u = x^2
du = 2x dx
dx = du / (2x)

Теперь подставляем это в наш интеграл:
∫X/cos^2(x^2) dx = ∫X/(cos^2(u)) (1/(2x)) du
= ∫X/(cos^2(u)) (1/(2sqrt(u))) du
= 0.5 ∫X/(cos^2(u) sqrt(u)) du

Теперь проведем еще одну замену переменной:
v = sin(u)
dv = cos(u) du
du = dv/cos(u)

Подставляем это в наш интеграл:
= 0.5 ∫X/(1-v^2)dv
= 0.5 ∫X/(1-v)(1+v) dv
= 0.5 ∫(A/(1-v) + B/(1+v)) dv
= 0.5 (A ln|1-v| - B ln|1+v|)

Теперь найдем значения констант A и B:
A(1 + v) + B(1 - v) = X
A + B = 0, -A + B = X
A = -X/2, B = X/2

И, наконец, подставляем значения A и B в интеграл:
= 0.5 * (-X/2 ln|1-v| + X/2 ln|1+v|)
= -X/4 ln|1-sin(u)| + X/4 ln|1+sin(u)|

и интеграл ∫X/cos^2(x^2) dx равен -X/4 ln|1-sin(x^2)| + X/4 ln|1+sin(x^2)| + C, где С - произвольная постоянная.