Докажите что при всех натуральных значениях n значение выражения 5*7^(2n+1)+13*25^n кратно 24

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение методом математической индукции.

База индукции:
При n = 1:
57^(21+1) + 1325^1 = 57^3 + 1325 = 5343 + 325 = 1715 + 325 = 2040
2040 делится на 24 без остатка, соответственно, база индукции верна.

Предположение индукции:
Пусть для n = k значение выражения 57^(2k+1) + 1325^k кратно 24.

Шаг индукции:
Докажем, что значение выражения кратно 24 при n = k+1:
57^(2(k+1)+1) + 1325^(k+1) = 57^(2k+2+1) + 132525^k = 5(497^(2k+1)) + 13(2525^k) = 4957^(2k+1) + 1325^k

По предположению индукции, 57^(2k+1) + 1325^k кратно 24. Теперь докажем, что 4957^(2k+1) также кратно 24:
4957^(2k+1) = 7^2 7^(2k+1) 5 = 7^(2k+3) 5 = 57^(2k+3)

Получили, что и выражение 4957^(2k+1) кратно 24, и это завершает доказательство по индукции.

Итак, для всех натуральных значений n значение выражения 57^(2n+1) + 1325^n кратно 24.