Доказать тригонометрическое тождество Sqrt(1+sinL)/(1-sinL) +sqrt(1-sinL)/(1+sinL) =-2/cosL при П/2<L<3П/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала выразим sin(L) через cos(L), используя тригонометрическое тождество sin^2(L) + cos^2(L) = 1:

sin(L)^2 = 1 - cos(L)^2
sin(L) = sqrt(1 - cos(L)^2)

Теперь подставим это выражение в данное тождество:

sqrt(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))/(1 - sqrt(1 - cos(L)^2)) + sqrt(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))/(1 + sqrt(1 - cos(L)^2)

Приведем общий знаменатель:

= [(sqrt(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))^2 + sqrt(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))^2)] / [(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))]

Выражаем подкоренные значения как квадраты:

= [(1 + sqrt(1 - cos(L)^2) + 1 - cos(L)^2) + (1 - sqrt(1 - cos(L)^2) + 1 - cos(L)^2)] / (1 - cos(L)^2)

Упрощаем:

=(2 - cos(L)^2 + 2 - cos(L)^2) / (1 - cos(L)^2)
= (-2cos^2L + 4) / (1 - cos^2L)
= -2cot^2L/ sin^2L
= -2/cosL

Таким образом, тригонометрическое тождество доказано.