Для начала выразим sin(L) через cos(L), используя тригонометрическое тождество sin^2(L) + cos^2(L) = 1:
sin(L)^2 = 1 - cos(L)^2sin(L) = sqrt(1 - cos(L)^2)
Теперь подставим это выражение в данное тождество:
sqrt(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))/(1 - sqrt(1 - cos(L)^2)) + sqrt(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))/(1 + sqrt(1 - cos(L)^2)
Приведем общий знаменатель:
= [(sqrt(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))^2 + sqrt(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))^2)] / [(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))]
Выражаем подкоренные значения как квадраты:
= [(1 + sqrt(1 - cos(L)^2) + 1 - cos(L)^2) + (1 - sqrt(1 - cos(L)^2) + 1 - cos(L)^2)] / (1 - cos(L)^2)
Упрощаем:
=(2 - cos(L)^2 + 2 - cos(L)^2) / (1 - cos(L)^2)= (-2cos^2L + 4) / (1 - cos^2L)= -2cot^2L/ sin^2L= -2/cosL
Таким образом, тригонометрическое тождество доказано.
Для начала выразим sin(L) через cos(L), используя тригонометрическое тождество sin^2(L) + cos^2(L) = 1:
sin(L)^2 = 1 - cos(L)^2
sin(L) = sqrt(1 - cos(L)^2)
Теперь подставим это выражение в данное тождество:
sqrt(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))/(1 - sqrt(1 - cos(L)^2)) + sqrt(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))/(1 + sqrt(1 - cos(L)^2)
Приведем общий знаменатель:
= [(sqrt(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))^2 + sqrt(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))^2)] / [(1 - sqrt(1 - cos(L)^2))(1 + sqrt(1 - cos(L)^2))]
Выражаем подкоренные значения как квадраты:
= [(1 + sqrt(1 - cos(L)^2) + 1 - cos(L)^2) + (1 - sqrt(1 - cos(L)^2) + 1 - cos(L)^2)] / (1 - cos(L)^2)
Упрощаем:
=(2 - cos(L)^2 + 2 - cos(L)^2) / (1 - cos(L)^2)
= (-2cos^2L + 4) / (1 - cos^2L)
= -2cot^2L/ sin^2L
= -2/cosL
Таким образом, тригонометрическое тождество доказано.