Метод половинного деления, также известный как метод бисекции, — это численный метод, используемый для нахождения корней функции. Он подходит для решения уравнений вида ( f(x) = 0 ), где ( f(x) ) непрерывна на заданном промежутке ([a, b]) и меняет знак (то есть ( f(a) ) и ( f(b) ) имеют разные знаки).
Принцип работы метода заключается в следующем:
Начальное приближение: Выбираются два значения ( a ) и ( b ), такие что ( f(a) \cdot f(b) < 0 ). Это гарантирует, что между ( a ) и ( b ) есть хотя бы один корень.
Разделение отрезка: На каждой итерации находится середина отрезка ( c = \frac{a + b}{2} ).
Проверка знака:
Если ( f(c) = 0 ), то ( c ) — корень.Если ( f(a) \cdot f(c) < 0 ), корень находится в интервале ([a, c]); тогда ( b ) заменяется на ( c ).Если ( f(c) \cdot f(b) < 0 ), корень находится в интервале ([c, b]); тогда ( a ) заменяется на ( c ).
Повторение: Процесс повторяется до тех пор, пока длина отрезка (|b - a|) не станет меньше заданной точности или пока не будет достигнуто достаточное количество итераций.
Метод половинного деления прост в реализации и гарантирует сходимость при условии, что функция непрерывна и меняет знак на указанном отрезке. Однако скорость сходимости относительно медленная (логарифмическая), поэтому для более быстрого нахождения корней могут использоваться другие методы, такие как метод Ньютона или метод секущих.
Метод половинного деления, также известный как метод бисекции, — это численный метод, используемый для нахождения корней функции. Он подходит для решения уравнений вида ( f(x) = 0 ), где ( f(x) ) непрерывна на заданном промежутке ([a, b]) и меняет знак (то есть ( f(a) ) и ( f(b) ) имеют разные знаки).
Принцип работы метода заключается в следующем:
Начальное приближение: Выбираются два значения ( a ) и ( b ), такие что ( f(a) \cdot f(b) < 0 ). Это гарантирует, что между ( a ) и ( b ) есть хотя бы один корень.
Разделение отрезка: На каждой итерации находится середина отрезка ( c = \frac{a + b}{2} ).
Проверка знака:
Если ( f(c) = 0 ), то ( c ) — корень.Если ( f(a) \cdot f(c) < 0 ), корень находится в интервале ([a, c]); тогда ( b ) заменяется на ( c ).Если ( f(c) \cdot f(b) < 0 ), корень находится в интервале ([c, b]); тогда ( a ) заменяется на ( c ).Повторение: Процесс повторяется до тех пор, пока длина отрезка (|b - a|) не станет меньше заданной точности или пока не будет достигнуто достаточное количество итераций.
Метод половинного деления прост в реализации и гарантирует сходимость при условии, что функция непрерывна и меняет знак на указанном отрезке. Однако скорость сходимости относительно медленная (логарифмическая), поэтому для более быстрого нахождения корней могут использоваться другие методы, такие как метод Ньютона или метод секущих.