В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1, найдите угол между прямой CC1 и плоскостью BDE1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения угла между прямой и плоскостью нужно найти угол между векторами, параллельными этим объектам.

Прямая СС1 проходит через центры оснований призмы и имеет направляющий вектор, равный вектору, соединяющему центры оснований: CC1 = [C - C1].

Плоскость BDE1 можно определить двумя нормальными векторами: BD и BE1.

Для начала найдем вектор ВD:
BD = D - B = [1, sqrt(3)/2, 0] - [0, sqrt(3)/2, 0] = [1, 0, 0].

Теперь найдем вектор BЕ1:
BE1 = E1 - B = [1, sqrt(3)/2, 1] - [0, sqrt(3)/2, 0] = [1, 0, 1].

Угол между прямой СC1 и плоскостью BDE1 равен углу между векторами CC1 и биссектрисы угла между BD и BE1. Биссектриса угла между двумя векторами находится как полусумма этих векторов: u = (BD + BE1) / ||BD + BE1||.

Теперь найдем угол между векторами CC1 и u:
cos(θ) = (CC1 u) / (||CC1|| ||u||),

где * - скалярное произведение векторов, а ||...|| - длина вектора.

Вычисляем длины векторов:
||CC1|| = sqrt((C - C1)^2) = sqrt(1^2 + (sqrt(3))^2) = sqrt(4) = 2,
||u|| = sqrt((BD + BE1)^2) = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5).

Теперь находим скалярное произведение:
CC1 u = [1, -sqrt(3), 0] [sqrt(2)/7, 0, sqrt(5)/7] = (sqrt(2)/7 + 0 + 0) = sqrt(2)/7.

Подставляем все в формулу:
cos(θ) = (sqrt(2)/7) / (2 sqrt(5) / 7) = sqrt(2) / (2 sqrt(5)) = sqrt(2) / (2 * sqrt(5)).

Таким образом, угол между прямой CC1 и плоскостью BDE1 равен arccos(sqrt(2) / (2 * sqrt(5))).