В некоторой области звездного неба подсчитано общее количество звезд первой и второй величины - всего 30 звезд. Известно, что среди любых 12 взятых найдется хотя бы 1 второй величины, а среди любых 20 звезд - хотя бы 1 первой величины. Сколько звезд первой и второй величины?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что количество звезд первой величины равно x, а количество звезд второй величины равно y. Тогда у нас есть два уравнения:
x + y = 30 (общее количество звёзд)
x + y >= 12 (среди любых 12 взятых найдется хотя бы 1 второй величины)
x + y >= 20 (среди любых 20 звезд - хотя бы 1 первой величины)

Первое уравнение уже дало нам значение x + y = 30, поэтому можем его заменить на 30 в двух оставшихся уравнениях:
x + y >= 12
x + y >= 20

Теперь сделаем от противного. Предположим, что ни в одном из случаев не выполняется неравенство, т.е. ни среди любых 12 звёзд не найдется второй величины, ни среди любых 20 звёзд не найдется первой величины.
Это означает, что x < 12 и y < 20. Подставим x = 11 и y = 19 в уравнение x + y = 30:
11 + 19 = 30
30 ≠ 30

Таким образом, хотя бы одно из неравенств x + y >= 12 или x + y >= 20 должно выполняться. Попробуем подставить x = 12 и y = 18. Тогда:
12 + 18 = 30
30 = 30

Таким образом, решением задачи является 12 звезд первой величины и 18 звезд второй величины.