3 tgx - 3 sin 2x = 0 решите уравнение и найдите корни, принадлежащие промежутку [п; 5п/2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно переписать в виде:

3tgx - 3sin2x = 0

tgx - sin2x = 0
tgx = sin2x

Далее, используя тригонометрические тождества, можем записать:

tgx = 2sinxcosx

tgx = 2 * 2sinxcosx = 4sinxcosx

tgx = 2tg2x = 4sinxcosx

tg2x = 2sinxcosx

tg2x = sin2x

tg2x = 2tgx / 1-tg^2x = sin2x

2tgx / 1-tg^2x = sin2x

2tgx / 1 - tg^2x = 2sinxcosx

2tgx / 1 - tg2x = 2sinxcosx

2tgx = 2sinxcosx * (1 - tg2x)

2tgx = 2sinxcosx - 2sinxcos^3x

tgx = sinxcosx - sinxcos^3x

tgx = sinxcosx(1-cos^2x)

tgx = sinxcos^3x

tgx = 2tgx - 3sin2x

2tgx - tgx = 3sin2x

tgx = 3sin2x

sin2x = 1/3 * tgx

sin2x = sinx/(1-cos^2x)

sin2x = sinx / (1 - 1/2 sin^2x)

sin2x = 2sinx(cosx)

Далее найдем точки пересечения графиков функций sin(x) и 2cos^2(x)-1:
sin(x) = 2cos^2(x)-1
cos^2(x) = (sin(x)+1)/2
cos(x) = sqrt((sin(x)+1)/2)

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
3tgx - 3sin(2x) = 0
3tg(x) = 3*2sin(x)cos(x)
tg(x) = 2cos(x)/2sin(x)
tg(x) = cotg(x)

Таким образом, решением уравнения является x = kπ, где k - целое число.

Теперь найдем корни уравнения, принадлежащие промежутку [π; 5π/2]:
kπ ∈ [π; 5π/2]

k = 1, 2, 3, 4

x1 = π
x2 = 2π
x3 = 3π
x4 = 4π

Поэтому корни уравнения, принадлежащие промежутку [π; 5π/2] : x = π, 2π, 3π, 4π.