Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена n^3 - n делится на 24.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть n - нечетное число. Тогда можно представить его в виде n = 2k + 1, где k - целое число.

Тогда подставим это значение n в многочлен n^3 - n:

(2k + 1)^3 - (2k + 1) =
= 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - 2k - 1 =
= 8k^3 + 12k^2 + 4k =
= 4(2k^3 + 3k^2 + k).

Заметим, что последнее выражение является произведением 4 на целое число, следовательно, это число делится на 4.

Теперь докажем, что полученное выражение делится на 3. Для этого заметим, что по модулю 3: (2k)^3 = 2^3 * k^3 = 8k^3 = 2k^3.

Подставим это в многочлен:

4(2k^3 + 3k^2 + k) = 4k(2k^2 + 3k + 1).

Осталось заметить, что выражение в скобках является многочленом с целыми коэффициентами, и его значение при подстановке целого числа k также будет целым числом.

Таким образом, мы доказали, что при любом нечетном n значение многочлена n^3 - n делится на 4 и на 3, следовательно, оно делится на их произведение 12. Также заметим, что n^3 - n всегда делится на 2, поэтому значение многочлена n^3 - n также делится на 2.

Итак, мы доказали, что при любом нечетном n значение многочлена n^3 - n делится на 2, 3 и 4, а значит, оно делится на 24.