Известно, a²-b² делится на 3. Докажите, что a кратно 3 и b кратно 3!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - целые числа, такие, что a² - b² делится на 3. Тогда a² ≡ b² (mod 3).

Так как 3 - простое число, то из свойства модульной арифметики, если a² ≡ b² (mod 3), то a ≡ b (mod 3) или a ≡ -b (mod 3).

Если a ≡ b (mod 3), то a - b делится на 3, а значит a кратно 3 и b кратно 3.

Если a ≡ -b (mod 3), то a + b делится на 3, а значит a + b кратно 3. Умножим обе части на a - b, получим a² - b² = (a + b)(a - b). Таким образом, a² - b² делится на 3 и a + b делится на 3, а значит a² и b² кратны 3.

Таким образом, если a² - b² делится на 3, то a кратно 3 и b кратно 3.