В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребрах А1B1 B1C1 и AD выбраны точки K, M, N 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребрах А1B1 B1C1 и AD выбраны точки K, M, N соответственно так, что A1K : KB1 = C1M : MB1 = DN : NA = 1 : 2
а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости KMN
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости KMN если ребро куба равно 5
2. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На стороне AB взята очка К так, что отрезки KL и BC параллельны. Окружность, описанная около треугольника AKC, пересекает прямую DC повторно в точке M.
а) Докажите, что AK=BM
б) Найдите площадь четырехугольника AKMC если площадь треугольника ABC равна 81 и AB:BC = 4:5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для доказательства того, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости KMN, рассмотрим векторы:

\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{BC1}+\overrightarrow{BD1})
\overrightarrow{MK} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BC1}
\overrightarrow{KN} = -\overrightarrow{BD1}

Так как MK и KN - это пропорциональные векторы, то точка K принадлежит прямой MN. Аналогично можно доказать, что точки M и N также принадлежат линии, а это означает, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости KMN.

б) Рассмотрим точку A как проекцию точки A1 на плоскость KMN.
Так как A1K : KB1 = 1 : 2, то точка K находится на расстоянии \frac{2}{3} от точки A1 по направлению от A1 к B1. Если длина ребра куба равна 5, то \overline{AA1} = 5, откуда \overline{AK} = \frac{10}{3}.
Точно так же получается, что \overline{AM} = \frac{10}{3} и \overline{AN} = \frac{20}{3}.
Точка M - середина отрезка AN, следовательно проекция точки A на плоскость KMN равна \overline{AM} = \frac{10}{3}.

Ответ: расстояние от точки A до плоскости KMN равно \frac{10}{3}.

а) Так как отрезок KL параллелен отрезку BC, то треугольники KAC и KBL подобны, так как угол BKL = угол BAC, угол KBL = угол KAC и угол KLB = угол KCA.
Отсюда следует, что AK/AB = AC/BC, то есть AK = AB * AC / BC = BM.

б) Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AKB и BKC, так как эти треугольники имеют общую высоту, проведенную из вершины К.
Площадь треугольника AKB равна \frac{1}{2} AB AK = \frac{1}{2} 5 4 = 10
Площадь треугольника BKC равна \frac{1}{2} BC KC = \frac{1}{2} 5 5 = \frac{25}{2}
Итак, площадь четырехугольника AKMC равна 81 - 10 - \frac{25}{2} = \frac{111}{2}.