Через две образующие конуса, угол между которыми равен β, проведено сечение, пересекающее основание по хорде длиной а. Найдите объем конуса, если образующая наклонена к плоскости его основания под углом α.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус основания конуса через r, а образующую через l. Тогда получаем, что длина хорды сечения равна диаметру основания конуса, то есть 2r. Также из геометрических соображений можно установить, что r = a/2sin(β/2).

Далее, чтобы найти высоту h конуса, проведем перпендикуляр из вершины конуса к плоскости основания. Получаем, что tg(α) = h / r, откуда h = rtg(α) = (a/2sin(β/2))tg(α).

Теперь можем найти объем конуса по формуле V = 1/3 π r^2 h. Подставляем найденные значения и получаем, что V = 1/3 π (a^2/4sin^2(β/2)) (atg(α)/2sin(β/2)) = πa^3 / 6sin(β).

Таким образом, объем конуса равен πa^3 / 6sin(β).