Задача по геометрии Точки М и К – середины сторон ВС и СD параллелограмма АВСD. Доказать, что если DМ ^ АС, то ВК: СD = 3:2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку М и К - середины сторон ВС и СD, т
МВ = ВК и МД = ДC.

Из условия DМ ^ АC следует, что треугольники DМС и АСВ подобны, так как угол DМС равен углу АСВ (они противоположные при параллельности сторон BC и AD) и углы при вершинах D и А принадлежат прямым углам (параллельные стороны AD и BC).

Из подобия треугольников следует, что отношение сторон ВК и СD равно отношению сторон АС и DM, то есть ВК: СD = AC: DM.

Так как ВК = МВ и СD = МD, то ВК: СD = ВМ: DM.

Также заметим, что треугольники DМС и АСВ равны по площади, так как имеют общее основание МС и равные высоты, опущенные на это основание.

Используя формулу для площади параллелограмма через диагонали, получим: S(ABCD) = AC * DM = 2S(DMC), где S(ABCD) - площадь параллелограмма, S(DMC) - площадь треугольника DМС.

Отсюда следует, что AC = 2 DM.

Итак, ВК: СD = ВМ: DM = ВМ: 0.5AC = ВМ: AC = 0.5 : 2 = 3 : 2.

Таким образом, доказано, что если DМ ^ АС, то ВК: СD = 3:2.