Докажите, что 1/1001+1/1002+...+1/2000>2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства, сначала посчитаем сумму всех дробей в левой части:

1/1001 + 1/1002 + ... + 1/2000 = 1/1001 + 1/1002 + ... + 1/200
= (1/1001 + 1/2000) + (1/1002 + 1/1999) + ... + (1/1500 + 1/1501)

(1/1001 + 1/2000) + (1/1002 + 1/2000) + ... + (1/1500 + 1/2000
= (1/1001 500) + 1/2000 50
= 500(1/1001 + 1/2000) = 500(2000 + 1001)/(1001 2000) = 5501/(1001 2000)

Теперь найдем значение правой части неравенства:

2 = 2000 / 1000 = 2000 / 1002 1002 / 1001 = 2000 1002 / (1001 1002) = 2000 1002 / 1001 / 2000 = 2004 / 1001

Таким образом, нам нужно сравнить значение 5501/(1001*2000) и 2004/1001.

5501/(1001*2000) = 5501/(2001000) ≈ 0.00274738

2004/1001 = 2.001998

Так как 0.00274738 < 2.001998, то имеет место неравенство 1/1001+1/1002+...+1/2000 > 2.

Таким образом, доказано, что 1/1001+1/1002+...+1/2000 > 2.