При каких значениях x и y выражение x²-4xy+5y² принимает наименьшее значение если x+y=1?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Когда x+y=1, выражение x²-4xy+5y² можно переписать в виде (x-2y)² + y².

Для минимизации данного выражения, нужно минимизировать каждое из слагаемых. Поскольку (x-2y)² является квадратом, его минимальное значение будет 0, а y² также имеет минимальное значение 0.

Таким образом, наименьшее значение у выражения x²-4xy+5y² будет достигаться при x=2y.

Подставив это значение в уравнение x+y=1, получаем:

2y + y = 1

3y = 1

y = 1/3

Таким образом, наименьшее значение выражения x²-4xy+5y² равно 4/9 и достигается при x=2/3, y=1/3.