Как выразить А и В через а1 а2 b1 b2 если a1*cos(x+b1)+a2*cos(x+b2)=A*cos(x+B)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для выражения А и В через a1, a2, b1 и b2 необходимо преобразовать выражение a1cos(x+b1) + a2cos(x+b2) в вид, подобный A*cos(x+B).

Для начала разложим выражение a1cos(x+b1) + a2cos(x+b2) с использованием формулы сложения косинусов
a1cos(x+b1) + a2cos(x+b2) = a1(cos(x)cos(b1) - sin(x)sin(b1)) + a2(cos(x)cos(b2) - sin(x)sin(b2)
= (a1cos(b1) + a2cos(b2))cos(x) - (a1sin(b1) + a2sin(b2))sin(x)

Теперь сравниваем полученное выражение с Acos(x+B). Мы должны похожие члены свести к одному косинусу и синусу
Acos(x+B) = Acos(x)cos(B) - Asin(x)sin(B)

Сравнивая коэффициенты при косинусах и синусах в обоих выражениях, получаем следующие равенства
a1cos(b1) + a2cos(b2) = Acos(B
a1sin(b1) + a2sin(b2) = Asin(B)

При сравнении видно, что А = sqrt((a1cos(b1) + a2cos(b2))^2 + (a1sin(b1) + a2sin(b2))^2), а B равен арктангенсу отношения (a1sin(b1) + a2sin(b2))/(a1cos(b1) + a2cos(b2)).

Таким образом, выражения для A и B через a1, a2, b1 и b2 будут
A = sqrt((a1cos(b1) + a2cos(b2))^2 + (a1sin(b1) + a2sin(b2))^2
B = arctan((a1sin(b1) + a2sin(b2))/(a1cos(b1) + a2cos(b2)))