В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE ,биссектриса угла ADC. Найдите градусную величину угла A.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку DE - биссектриса угла ADC, то угол ADE = угол EDC
Также, так как DE - биссектриса угла ADC, то угол AED = угол CED.

Рассмотрим треугольники ADE и CDE. Поскольку у них равны углы ADE и CED, а углы AED и CDE равны, так как DE - биссектриса, то по признаку углов треугольники ADE и CDE равны. Следовательно, их стороны пропорциональны: AD/CD = DE/CE.

Так как BE - биссектриса угла ABC, то угол ABE = угол CBE
Также, так как BE - биссектриса угла ABC, то угол AEB = угол CEB.

Рассмотрим треугольники ABE и CBE. Поскольку у них равны углы ABE и CBE, а углы AEB и CEB равны, так как BE - биссектриса, то по признаку углов треугольники ABE и CBE равны. Следовательно, их стороны пропорциональны: AB/CB = BE/CE.

Исходя из полученных пропорций имеем, что AB/CB = AD/CD, в то же время
AB/CB = sin(C)/sin(A)
AD/CD = sin(A)/sin(C).

Следовательно, sin(C)/sin(A) = sin(A)/sin(C), откуда sin^2(A) = sin^2(C), что дает A = C.

Таким образом, угол A равен углу C.