Задача по геометрии Дан треугольник ABC площади 18 см^2; М-точка пересечение его медиан. Прямая, проходящая через точку А и параллельная прямой BC, пересекает прямую BM в точке К, а прямую CM в точке N. Прямая BK и AC пересекаются в точке L. Найдите площадь треугольника MLN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника ABC через a, b и c, а высоты из вершин A, B и C на стороны через ha, hb и hc соответственно.
Так как M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то AM = 2/3 ha, BM = 2/3 hb, CM = 2/3 * hc.

Так как прямая, проходящая через точку A и параллельная прямой BC, пересекает прямую BM в точке К, а прямую CM в точке N, то треугольник ABC подобен треугольнику KAN (по теореме об околопрямоугольных треугольниках).

Так как прямая BK и AC пересекаются в точке L, то треугольники BKL и BAC подобны (по критерию подобия треугольников). Тогда:

LK/LB = AC/BC
LB = LK * BC/AC

Посчитаем длины сторон треугольника KAN:
AK = 2/3 ha
AN = 2/3 hc
KN = BM = 2/3 * hb

Теперь можем найти площадь треугольника MLN:
S_MLN = 1/2 ML MN * sin(AKN)

Так как треугольникы KAN и ABC подобны, то:
AK/ha = KN/hb = AN/hc
AK AN = KN ha

Отсюда:
S_MLN = 1/2 ML MN sin(AKN) = 1/2 (ML KN - MN LK) sin(AKN)
= 1/2 (BM NB - CM ML) sin(AKN)
= 1/2 (2/3 hb 2/3 hc - 2/3 hc LK) sin(AKN)
= 4/27 (hb hc - 3/2 hc LK) sin(AKN)
= 4/27 (hb hc - 3/2 hc (LK/LB) LB) * sin(AKN)

Здесь нам нужно найти отношение LK/LB. Так как треугольникы BKL и BAC подобны, то:
LK/LB = AK/AC = 2/3 ha / 3/2 ha = 4/9

Тогда:
S_MLN = 4/27 (hb hc - 3/2 hc (4/9) LB) sin(AKN)
= 4/27 (hb hc - 2/3 hc LB) sin(AKN)
= 4/27 hc (hb - 2/3 LB) * sin(AKN)

В итоге, площадь треугольника MLN равна 4/27 hc (hb - 2/3 LB) sin(AKN).